1. 群的基本概念

1.1 群

Def. 群：集合 $G$，其中定义了乘运算

• 封闭性
• 结合律（操作的先后）：$f(gh)=(fg)h$
• 有唯一单位元
• 有唯一逆元

Ex. 空间反演群：$\{E,1\}$

Def. 有限群、无限群：元素的个数是群的阶，记为 $|G|$

• 群阶的因子

Def. Abel群：乘法可交换

Thm. 重排定理：对于 $u\in G$，用 $g_{\alpha }$ 遍历 $G$ 中的所有元素，$u{g}_{\alpha }$ 给出且仅仅一次给出 $G$ 中的所有元素

1.2 子群与陪集

Def. 子群

Def. 群元的阶：对 $a$ 开始做 $m$ 次幂操作变成单位元（满足这个性质的最小 $m$）

Def. 陪集：子群作用于元素

• 左陪集：$aH$
• 右陪集：$Ha$

Thm. 陪集定理：同一个群的两个陪集要么完全相同，要么没有任何公共元素

Thm. 拉格朗日定理：有限群子群的阶，一定是群阶的因子

1.3 类与不变子群

Def. 共轭：在 $G$ 中，$gf{g}^{-1}=h$，则 $f$ 和 $h$ 共轭，记为 $f\sim h$

• 传递性

Def. 类：群 $G$ 中所有共轭元素的集合

• 有特殊条件的子群
• 先找到 $f$ 然后用 $G$ 中任意的 $g$ 遍历（共轭的定义）
• $\Rightarrow$
  • 单位元素、Abel群中的元素都自成一类
  • $m$ 阶元素的同类元素的阶也是 $m$
  • Thm. 有限群中每个类中元素的个数都是群阶的因子

Ex. $D_3$ 群：

• 其中 $e$、$df$、$abc$ 为三类元素

Def. 共轭子群：$gH{g}^{-1}=K$

Def. 不变/正规子群：$gH{g}^{-1}=H$

• Thm. 遍历 $g\in H$ 时，给出且仅一次给出 $H$ 中的所有元素（双射）
• $\Rightarrow$
  • 所有Abel群的子群都是不变子群
  • Thm. 不变子群的左右陪集相同

Def. 商群：不变子群 $H$ 将 $G$ 分为 $\{g_{i}H\}$（左陪集 集），把 $g_{i}H$ 看作新群的元素，记为 $\{f_k\}$，称为 $G$ 对其不变子群 $H$ 的商群，记为 $G/H$

1.4 同构和同态

Def. 同构：存在从 $G$ 到 $F$ 的双射，记为 $G\cong F$

• 映射的乘积等于乘积的映射
• $\{E,I\}$ 和 $\{e,a\}$ 同构
• 三阶置换群和 $D_3$ 群同构
• 同一个群的共轭子群同构

Ex. 三阶置换群 $S_3$：

• 恒等变换：$e$ 或者写成 $(1)(2)(3)$
• 对换/2-循环：$(12),(13),(23)$
  • $(12)$：1映射到2，2映射到1，3不变
• 3-循环：$(123),(132)$
  • $(123)$：1映射到3，3映射到2，2映射到1

Def. 同态：满射，记为 $G\sim F$

• 同态群只能将 $e$ 映射为 $e$

Def. 同态核：在 $G$ 中，与 $F$ 的所有单位元对应的所有元素

• $\Rightarrow$ Thm. 同态核定理
  • 同态核 $H$ 是 $G$ 的不变子群
  • 商群 $G/H$与 $F$ 同构
• $D_3$ 群和 二阶循环群 $Z_2$ 同态：$\{e,d,f\}\mapsto e,\{a,b,c\}\mapsto a$

Def. 自同构映射：从 $G$ 到自身的同构映射

Def. 群 $G$ 的自同构群：由群 $G$ 的同构映射组成的群，乘法定义为从右往左结合，记为 $A(G)$

• $G$ 的自同构群的子群依然是 $G$ 的自同构群

Def. 内自同构映射：$G$ 中的元素 $u$ 对 $G$ 本身满足自同构映射的定义，形式为 $ug{u}^{-1}$

• $G$ 中有几个 $u$，就可以定义几个不同的内自同构映射
• 不能表示成这种形式的自同构映射被称为外自同构映射
• Def. 内自同构群：$I(G)$
  • $I(G)$ 为 $A(G)$ 的不变子群

Ex. 三阶循环群 $Z_3=\{e,a,a^2\}$ 的

• 自同构群为二阶循环群 $Z_2=\{e,a\}$
• 内自同构映射为恒等映射

1.5 变换群

Def. 变换/置换：把集合 $X$ 双射为本身的映射

• Def. 完全对称群 $S_X$：对集合 $X$ 所有能实现的置换组成的群
  • $S_X$ 可以是 $X$ 的变换和变换的组合再组合
  • $S_X$ 的子群称为变换/对称群
• Thm. Cayley定理：存在一个 $S_G$ 的子群与 $G$ 同构
  • $S_G$ 中变换的定义与 $G$ 封闭性的效果一致

Def. 等价性：设 $G$ 为 $X$ 上的变换群，若 $\mathrm{x},\mathrm{y}\in X$，$\exists g\in G$，使得 $g(\mathrm{x})=\mathrm{y}$，则称 $\mathrm{x}$ 与 $\mathrm{y}$ 等价，记为 $\mathrm{x}\sim \mathrm{y}$

• 传递性

Def. $\mathrm{x}$ 的 $G$ 轨道：设 $G$ 为 $X$ 上的变换群，对于 $\mathrm{x}\in X$，$X$ 中所有与 $\mathrm{x}$ 等价的元素的集合

Def. 不变子集：

Def. 迷向子群：$G^{\mathrm{x}}$ 是 $G$ 对 $\mathrm{x}$ 的

• Thm. $\mathrm{x}$ 的 $G$ 轨道的点和 $G^{\mathrm{x}}$ 的左陪集一一对应

1.6 直积和半直积

Def. 直积群：记为 $G_1\otimes G_2$

• Def. 直积因子：

Def. 半直积：记为 $G_1{\otimes }_s{G}_2$