2. 群表示理论

2.1 群表示

群表示：群 $G$ 到线性空间 $V$ 上的线性变换群 $L(V)$ 的同态映射关系

Def. 线性/向量空间：向量集合 $V$，定义加法和数乘两种运算

• 两种运算分别满足4个条件，共8条

Def. 线性无关：线性组合等于0，当且仅当系数均为0

• 反之线性相关

Def. 维数：线性空间中线性无关向量的最大个数，记为 $\dim V=m$

Def. 基矢：n维空间中的n个线性无关的向量为一组，记为 $({\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2,\cdots ,{\vec{e}}_n)$

Def. 线性变换：变换满足线性的两个条件

Def. n维复一般线性群 $GL(V,C)$：n维复线性空间V上，所有非奇异线性变换映射构成的群

• Def. 其子群为V上的线性变换群

Def. 群表示：从G到n维线性空间V上的线性变换群L(V,C)的同态映射A

• $A:G\to L$ 且此映射满足线性条件
• 忠实表示：双射

Ex. 1：任何群 G 恒与 $\{1\}$（一阶单位矩阵）同态，称为一维恒等/显示/平凡表示

Ex. 2：任何矩阵群都是自身的表示

Ex. 3：