群

一个非空集合 $S$ +一个二元运算 $* : S \times S \to S$

如果 $(S, *)$ 满足封闭性、结合律、单位元、逆元，则构成一个群

交换群g

如果 $*$ 满足交换律

环

一个加法交换群上，再定义一个二元乘法运算

乘法满足封闭性、结合律、分配律，但不一定有单位元、不一定可逆，不一定满足交换律

域

乘法运算有单位元、可逆、满足交换律的环

例子：

数域： $Q, R, C$
非数域：伽罗瓦域

注：

在许多抽象代数的教材中，通常会默认环是带单位元的，这是因为带单位元的环在理论上更丰富，并且许多重要的定理和结构都需要单位元的存在。然而，从最基本的定义来看，单位元并不是环的必要条件。

带单位元的环：
- $Z, Q, R, C$ ：单位元是 $1$
- 所有 $n \times n$ 矩阵的集合 $M_{n} [F]$ ：单位矩阵 $I_{n}$
- 所有在域 $F$ 上的多项式集合 $F [x]$ ：单位元是常数多项式 $1$
不带单位元的环：
- 偶数整数集 $2 Z = {\dots, - 4, - 2, 0, 2, 4, \dots}$

向量空间

向量空间 $V$ ：

定义在域 $F$ 上的非空集合（依赖性）
定义两种运算：
1. 向量加法： $+ : V \times V \to V$ （结合律，交换律，零向量，负向量）
2. 标量乘法： $\cdot : F \times V \to V$ （对向量、标量加法的分配律，结合律，单位元）
例子：
1. 在实数域 $R$ 上
  1. 所有 $n$ 维实数向量的集合： $R^{n}$
  2. 所有次数不超过 $n$ 的多项式集合： $P_{n} (x)$
  3. 所有从某个区间 $[a, b]$ 到 $R$ 的连续函数集合： $C [a, b]$

结合代数

同时具有向量空间和环两种结构的数学对象

一个在域 $F$ 上的结合代数 $A$ 是一个非空集合，满足：

$A$ 是一个在域 $F$ 上的向量空间：交换群 $(A, +)$ + 标量乘法 $\cdot_{s} : F \times A \to A$
向量空间 $A$ 是一个环：交换群 $(A, +)$ + 代数乘法 $\cdot_{a} : A \times A \to A$
$A$ 的向量空间结构和环结构是兼容的：
- 对于任意 $k \in F$ 和任意向量 $a, b \in A$ ，满足： $k \cdot_{s} (a \cdot_{a} b) = (k \cdot_{s} a) \cdot_{a} b = a \cdot_{a} (k \cdot_{s} b)$

例子：

矩阵代数 $M_{n} (F)$
- 是 $F$ 上的向量空间（矩阵加法、标量乘法）
- 是环：矩阵加法（重合），乘法（封闭性、结合律、分配律，但不一定有逆元、但有单位元），不一定满足交换律
- 兼容： $k (A B) = (k A) B = A (k B)$
多项式代数 $F [x]$

多项式代数

一个在域 $F$ 上的变量 $x$ 的多项式，形如： $p (x) = a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ ，所有多项式的集合记作 $F [x]$

$a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}$ 是来自域 $F$ 的系数
$x$ 是一个形式变量（不变元），只是一个符号
$n$ 是一个非负整数，如果 $a_{n} \neq =_{0}$ ，则 $n$ 是多项式的次数

多项式代数 $F [x]$

是 $F$ 上的向量空间（多项式加法，标量乘法）
是环：多项式加法（重合）、乘法（封闭性、分配律，有单位元常数多项式 $1$ ，但不一定有逆元），满足交换律
- 只有非零常数多项式才有乘法逆元
- 如果把环 $F [x]$ 扩展成有理函数域 $F (x) = \frac{p ( x )}{q ( x )}$ ，则所有非零多项式在 $F (x)$ 中具有乘法逆元
兼容：对于任意标量 $k \in F$ 和任意多项式 $p (x), q (x) \in F [x]$ ，满足： $k \cdot (p (x) \cdot q (x)) = (k \cdot p (x)) \cdot q (x) = p (x) \cdot (k \cdot q (x))$

二次型

二次型是一个从矢量到标量的映射， $Q : R^{n} \to R$

矩阵表示： $Q (x) = x^{T} A x$ ，其中 $x$ 是列向量， $A$ 为 $n \times n$ 的实对称矩阵，称为二次型的系数矩阵

线性型

对域 $F$ 上的向量空间 $V$ ，线性型（线性泛函）是一个从矢量到标量的映射， $f : V \to F$

满足：

可加性： $f (u + v) = f (u) + f (v)$
齐次性： $f (c v) = c f (v)$
可合并为： $f (c_{1} u + c_{2} v) = c_{1} f (u) + c_{2} f (v)$

例子：

$f (x) = f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 2 x_{1} - 3 x_{2} + x_{3}$ 是 $R^{3}$ 上的一个线性型
积分运算 $I (g) = \int_{a}^{b} g (t) d t$ 是函数空间 $C [a, b]$ 上的一个线性型

双线性型

对域 $F$ 上的向量空间 $V$ ，双线性型是一个映射 $B : V \times V \to F$ ，满足

$B (c_{1} u_{1} + c_{2} u_{2}, v) = c_{1} B (u_{1}, v) + c_{2} B (u_{2}, v)$
$B (u, c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2}) = c_{1} B (u, v_{1}) + c_{2} B (u, v_{2})$

常用 $B (v, v)$ 定义 $Q (v)$ ：

欧氏空间中，定义 $B (u, v) = u \cdot v$ ，有 $Q (v) = B (v, v) = v \cdot v$
一般定义，如果 $B (u, v) = 0$ ，则 $u$ 和 $v$ 在几何上是正交的

对称双线性型

满足： $B (u, v) = B (v, u)$

例子：

$R^{n}$ 上的点积
对 $A_{n \times x}$ 和 $x, y \in R^{n}$ ，定义 $B (x, y) = x^{T} A y$

如果如果空间中先得到了二次型 $Q$ ，且基域的特征不为 $2$ （即 $1 + 1 \neq =_{0}$ ，对于 $R$ 和 $C$ 总是成立），那么由 $Q$ 唯一确定一个对称双线性型 $B$ ：

Q (u + v) \Rightarrow B (u, v) = B (u + v, u + v) = B (v, v) + B (u, v) + B (v, u) + B (u, u) = B (v, v) + 2 B (u, v) + B (u, u) = Q (v) + 2 B (u, v) + Q (u) = \frac{1}{2} (Q (u + v) - Q (u) - Q (v))

一个域 $F$ 的特征是指最小的整数 $n$ ，使得在 $F$ 中的单位元自身相加 $n$ 次得到 $0$

如果这样的正整数不存在，我们就说这个域的特征是 $0$
如果特征为 $2$ ，则 $2 \cdot 1 = 0$ ，这意味着 $2$ 没有乘法逆元， $\frac{1}{2}$ 不成立

Clifford 代数

设 $V$ 是域 $F$ 上的向量空间，并设 $Q : V \to F$ 是 $V$ 上的一个二次型

新定义乘法：对于任意 $v \in V$ ，满足 $v^{2} = Q (v) \cdot 1$

$1$ ：单位元

Clifford代数 $Cl (V, Q)$ 是一个由 $V$ 生成的结合代数

是 $F$ 上的向量空间（向量加法，标量乘法）
是环：向量加法（重合）、新定义的乘法（封闭性、分配律，有单位元 $1$ ，但不一定有逆元），不一定满足交换律
兼容：对于任意标量 $k \in F$ 和向量 $u, v \in Cl (V, Q)$ ，满足： $k \cdot (uv) = (k \cdot u) v = u (k \cdot v)$

注：更一般的定义为张量代数 $T (V)$ 对由所有形如 $v \otimes v - Q (v)$ 的元素生成的双边理想 $I_{Q}$ 的商代数： $Cl (V, Q) = T (V) / I_{Q}$

新定义乘法 $v^{2} = Q (v) \cdot 1$ 的等价描述： ${u, v} = 2 B (u, v)$

即从二次型 $Q$ 或对称双线型 $B$ 出发，都可以定义Clifford代数

Q (u + v) \Rightarrow {u, v} = (u + v)^{2} = u^{2} + uv + vu + v^{2} = Q (u) + uv + vu + Q (v) = uv + vu = Q (u + v) - Q (u) - Q (v) = 2 B (u, v)

对于两个向量的乘积 $uv = \frac{1}{2} (uv + vu) + \frac{1}{2} (uv - vu)$

从代数考虑： $uv = \frac{1}{2} (uv + vu) + \frac{1}{2} (uv - vu) = \frac{1}{2} {u, v} + \frac{1}{2} [u, v]$

第一部分为对称部分， ${}$ 为反对易子
第二部分为反对称部分， $[]$ 为李括号， $[u, v]$ 是交换子

从几何考虑： $uv = \frac{1}{2} (uv + vu) + \frac{1}{2} (uv - vu) = B (u, v) + u \land v$

第一部分是内积的Clifford体现
- 告诉我们两个向量有多少是“相同”的，它们如何相互“对齐”，以及它们在共同方向上的作用
- 它是一个标量，代表了线性作用或投影
第二部分是外积的Clifford体现，描述两个向量张成的有向平面区域
- 告诉我们两个向量有多少是“不同”的，它们如何相互“正交”，以及它们共同定义了一个什么样的平面
- 它是一个双向量，代表了旋转作用或平面区域

现从Clifford代数的几何性出发：

考虑Clifford代数的特殊乘法：

$v^{2} = Q (v) \cdot 1$
${u, v} = 2 B (u, v)$
$B (u, v) = \frac{1}{2} (Q (u + v) - Q (u) - Q (v))$

在向量空间中，一个向量长度的平方是 $∥ v ∥^{2} = v \cdot v$ ，这是一个二次型的特例 → $Q (v) = v^{T} I v$ ，其中 $I$ 为单位矩阵

选择不同的二次型 $Q (v)$ ，实际上是在选择不同的度规，这个度规定义了向量空间中的“长度”和“角度”概念

而 $B (u, v)$ 就是由二次型 $Q (v)$ 导出的度规张量

考虑欧几里得空间：

Q (u + v) \Rightarrow B (u, v) = i = 1 \sum n (u^{i} + v^{i})^{2} = i = 1 \sum n ((u^{i})^{2} + 2 u^{i} v^{i} + (v^{i})^{2}) = i = 1 \sum n (u^{i})^{2} + 2 i = 1 \sum n u^{i} v^{i} + i = 1 \sum n (v^{i})^{2} = Q (u) + 2 i = 1 \sum n u^{i} v^{i} + Q (v) = \frac{1}{2} (Q (u + v) - Q (u) - Q (v)) = i = 1 \sum n u^{i} v^{i}

欧几里得空间：

$V = R^{n}$
$Q (v) = v^{T} I v$ ，其中 $I$ 为单位矩阵
度规矩阵 $G = I$
度规张量 $B (u, v) = \sum_{i = 1}^{n} u^{i} v^{i} = u^{i} v_{i}$ （爱因斯坦求和约定）
对于欧氏几何，长度是正的，并且满足勾股定理
可记作 $Cl (R^{n}, Q)$ 或 $C l_{n} (R)$ 或 $Cl (n, 0)$

闵可夫斯基空间：

$V = R^{1, 3}$
$Q (v) = (v^{0})^{2} - (v^{1})^{2} - (v^{2})^{2} - (v^{3})^{2}$ （使用西海岸约定）
度规矩阵 $G = diag (1, - 1, - 1, - 1)$
度规张量 $B (u, v) = g_{μν} u^{μ} v^{ν}$
对于狭义相对论中的时空几何，长度平方可以是正的（类时向量）、负的（类空向量）或零（类光向量）
一般记作 $C l_{1, 3} (R)$ 或 $Cl (1, 3)$

其他伪欧几里得空间：

度规矩阵 $G = diag (p 次 1, \dots, 1, q 次 - 1, \dots, - 1)$
一般记作 $Cl (p, q)$ ： $p$ 个基向量平方为 $+ 1$ 和 $q$ 个基向量平方为 $- 1$

以上均为度规矩阵为对角矩阵的例子。如果空间的基对于二次型不是正交的，度规矩阵就会出现非对角分量

例如广义相对论中，在旋转的黑洞附近，使用Kerr度规

G = g_{tt} g_{ϕt} 00 g_{tϕ} g_{ϕϕ} 00 00 g_{rr} 0 000 g_{θθ}

$g_{tt} = - (1 - \frac{2 M r}{Σ})$
$g_{tϕ} = g_{ϕt} = - \frac{2 a M r s i n ^{2} θ}{Σ}$
$g_{rr} = \frac{Σ}{Δ}$
$g_{θθ} = Σ$
$g_{ϕϕ} = (r^{2} + a^{2} + \frac{2 M r a ^{2} s i n ^{2} θ}{Σ}) sin^{2} θ$
$M$ ：黑洞质量
$a$ ：黑洞角动量参数
$Σ = r^{2} + a^{2} cos^{2} θ$
$Δ = r^{2} - 2 M r + a^{2}$

这意味着在 Boyer-Lindquist 坐标系下，时间轴和 $ϕ$ 轴（旋转方向）是非正交的

Dirac 代数

本质上是闵可夫斯基时空上的 Clifford 代数 $C l_{1, 3} (R)$ 的复化版本

因为在量子力学中，波函数本身就是复数，粒子的量子态通常用复向量表示。因此，为了描述量子粒子的动力学，其代数结构自然也需要扩展到复数域

如果选择闵可夫斯基空间的标准基 ${e_{0}, e_{1}, e_{2}, e_{3}}$ ，使得 $Q (e_{0}) = 1, Q (e_{1}) = - 1, Q (e_{1}) = - 1, Q (e_{1}) = - 1$ ，并且 $B (e_{μ}, e_{ν}) = g_{μν}$

$uv + vu = 2 B (u, v)$ 得 $e^{μ} e^{ν} + e^{ν} e^{μ} = 2 g^{μν}$ ，将 $e^{μ}$ 替换为 $γ^{μ}$

通常记为 $D$ 或 $C l_{1, 3} (C)$ ，是满足以下反对易关系的生成元 $γ^{μ}$ 所生成的结合代数：

{γ^{μ}, γ^{ν}} = γ^{μ} γ^{ν} + γ^{ν} γ^{μ} = 2 g^{μν} 1

$μ, ν$ ：时空坐标
$g^{μν}$ ：度规张量（逆变形式）
$1$ ：代数的单位元

这些生成元 $γ^{μ}$ 被称为狄拉克 $γ$ 矩阵（Dirac matrices）。但它们本身不是矩阵，而是代数的抽象生成元。在实际应用中，通常会寻找这些生成元的矩阵表示：

Dirac 表示：

γ^{0} = (I_{2} 0 0 - I_{2}), γ^{i} = (0 - σ^{i} σ^{i} 0) (i = 1, 2, 3)

其中 $I_{2}$ 是 $2 \times 2$ 单位矩阵， $σ^{i}$ 是泡利矩阵

σ^{1} = (0110), σ^{2} = (0 i - i 0), σ^{3} = (10 0 - 1)

外尔表示 (Weyl Representation) 或手征表示 (Chiral Representation)：

γ^{0} = (0 I_{2} I_{2} 0), γ^{i} = (0 - σ^{i} σ^{i} 0)

这种表示在处理手征对称性时非常有用，因为它可以使得手征投影算符 $γ^{5}$ 具有对角形式

马约拉纳表示 (Majorana Representation)：

所有的 $γ^{μ}$ 都是纯虚数矩阵。这种表示在描述马约拉纳费米子（粒子就是其自身的反粒子）时非常有用

以上表示都是等价的，可以通过酉变换相互转换

狄拉克代数是一个 $2^{4} = 16$ 维的复向量空间。它的一个基可以由以下 16 个元素构成：

标量： $1$ 或 $I_{4}$ （1个）
1. 对应不依赖于方向的标量，如粒子的质量、电荷等
向量： $γ^{μ}$ （4个）
1. 对应时空向量，如粒子的四动量 $p^{μ}$ 、电磁场的四电流 $j^{μ}$ 等
双向量或二形式（2-form）： $σ^{μν} = \frac{i}{2} [γ^{μ}, γ^{ν}]$ （6个）
1. 更基本应该写成 $γ^{μ} γ^{ν}$ 且 $μ < ν$ ，但 $σ^{μν}$ 是物理学中洛伦兹群生成元在这个表示下的具体形式
2. 对应时空中的二阶反对称张量，如电磁场张量 $F^{μν}$ 、洛伦兹群的生成元（描述旋转和洛伦兹加速）、自旋角动量算符 $S^{μν} = \frac{i ℏ}{4} [γ^{μ}, γ^{ν}]$ 等
三向量或三形式或伪向量： $γ^{0} γ^{1} γ^{2}, γ^{0} γ^{1} γ^{3}, γ^{0} γ^{2} γ^{3}, γ^{1} γ^{2} γ^{3}$ （4个）
1. 这四个向量也可以通过 $γ^{5} γ^{μ}$ 生成
2. 对应于轴向量或轴流，如轴向电流
伪标量 (Pseudoscalar)： $γ^{5} = i γ^{0} γ^{1} γ^{2} γ^{3}$ （1个）
1. 对应宇称变换下改变符号的标量。在粒子物理中，它与手征对称性破缺、轴向异常等现象相关

核心应用：Dirac方程

在量子力学中，薛定谔方程描述了非相对论粒子。但当粒子速度接近光速时，需要一个相对论性的量子力学理论

最初的尝试是Klein-Gorden方程 $\partial_{μ} \partial^{μ} Ψ - m^{2} Ψ = 0$ ，但它存在如负概率密度和无法自然地描述粒子的自旋等问题

狄拉克在1928年提出了一个革命性的方程，旨在解决这些问题。他希望找到一个满足以下条件的方程：

满足洛伦兹协变性，即在不同惯性系下形式不变
像薛定谔方程一样，在时间上是一阶导数，以保证概率密度为正定
能够自然地包含电子的自旋-1/2性质

Dirac方程： $(i γ^{μ} \partial_{μ} - m) ψ = 0$

$\partial_{μ} = \frac{\partial}{\partial x ^{μ}}$
$γ^{μ}$ ：狄拉克 $γ$ 矩阵
$m$ ：粒子的质量
$ψ$ ：狄拉克旋量，它是一个四分量复值列向量， $ψ = ψ_{1} ψ_{2} ψ_{3} ψ_{4}$
- 狄拉克旋量是狄拉克代数的表示空间中的元素。即 $γ^{μ}$ 矩阵作用于这个四维向量空间，将一个旋量映射到另一个旋量，这个四维空间就是狄拉克代数的一个表示。

普通旋量（Spinors）是 $SO (3)$ 群的二重覆盖群 $S U (2)$ 的表示

狄拉克旋量是洛伦兹群 $SO (1, 3)$ 的二重覆盖群 $Sp in (1, 3)$ 的表示，当物理系统进行 $2 π$ 旋转时，旋量会改变其符号，只有在进行 $4 π$ 旋转后才能恢复到初始状态。这种变换性质正合适描述自旋1/2粒子（如电子）自旋。

考虑绕 $z$ 轴的旋转算符： $R_{z} (θ) = e^{- i θ S_{z} /ℏ}$

$S_{z}$ ：沿 $z$ 轴的角动量算符，由广义相对论 $S^{μν} = \frac{i ℏ}{4} [γ^{μ}, γ^{ν}]$

对于狄拉克旋量， $S_{z} = S^{12} = \frac{ℏ}{2} (σ_{z} 0 0 σ_{z})$ ， $R_{z} (θ) = (e^{- i \frac{θ}{2} σ_{z}} 0 0 e^{- i \frac{θ}{2} σ_{z}})$ ，其中 $e^{- i \frac{θ}{2} σ_{z}} = cos (\frac{θ}{2}) I_{2} - i sin (\frac{θ}{2}) σ_{z}$

现考虑 $2 π$ 旋转， $e^{- i \frac{θ}{2} σ_{z}} = cos (\frac{2 π}{2}) I_{2} - i sin (\frac{2 π}{2}) σ_{z} = (- 1) I_{2} - i (0) σ_{z} = - I_{2}$ ，得

R_{z} (2 π) = (- I_{2} 0 0 - I_{2}) = - I_{4}

则， $4 π$ 旋转 $R_{z} (4 π) = I_{4}$

狄拉克方程的解不仅包含正能量解（对应电子），还包含负能量解。狄拉克最初提出了“狄拉克海”的概念来解释这些负能量态，认为所有负能量态都被填满了。后来，费曼等人重新解释了这些负能量解，认为它们对应于具有正能量但电荷相反的粒子，即反粒子。

在狄拉克代数的基中，伪标量 $γ^{5}$ 尤其重要。它不仅在宇称变换下改变符号，更在粒子物理中扮演着手征算符的角色。通过 $γ^{5}$ ，我们可以将狄拉克旋量分解为左手旋量和右手旋量分量。在弱相互作用中，只有左手旋量参与，这导致了宇称不守恒的现象，是粒子物理标准模型中的一个核心特征。

$γ^{5}$ 的两个代数性质：

幂等性平方： $(γ^{5})^{2} = 1$
反对易性： ${γ^{5}, γ^{μ}} = 0$ （ $γ^{5}$ 与任何一个狄拉克 $γ$ 矩阵都反对易）

定义手征投影算符： $P_{L} = \frac{1 - γ ^{5}}{2}$ 和 $P_{R} = \frac{1 + γ ^{5}}{2}$

幂等性： $P_{L}^{2} = P_{L}$ ， $P_{R}^{2} = P_{R}$
正交性： $P_{L} P_{R} = 0$
完备性： $P_{L} + P_{R} = 1$

任何狄拉克旋量 $ψ$ 都可以被分解为两个手征分量： $ψ = 1 ψ = (P_{L} + P_{R}) ψ = ψ_{L} + ψ_{R}$

称 $ψ_{L}$ ， $ψ_{R}$ 为左手、右手旋量
这些手征分量都是 $γ^{5}$ 的本征态：
- 左手旋量： $γ^{5} ψ_{L} = γ^{5} \frac{1 - γ ^{5}}{2} ψ = \frac{γ ^{5} - 1}{2} ψ = - ψ_{L}$ （本征值为 $- 1$ ）
- 右手旋量： $γ^{5} ψ_{R} = γ^{5} \frac{1 + γ ^{5}}{2} ψ = \frac{γ ^{5} + 1}{2} ψ = ψ_{R}$ （本征值为 $+ 1$ ）

宇称变换 (P) 是一种空间反演操作，它将空间坐标 $x$ 变为 $- x$ ，而时间 $t$ 不变。对于狄拉克旋量 $ψ (t, x)$ ，其宇称变换定义为：

ψ (t, x) P ψ^{'} (t, x) = γ^{0} ψ (t, - x)

在狄拉克理论中，宇称算符 $P$ 在旋量空间中的作用被表示为 $γ^{0}$ ，记作 $P = γ^{0}$ 。而一个算符 $O$ 在宇称变换下的行为由 $PO P^{- 1}$ 给出。

现考察 $γ^{5}$ 在宇称变换下的行为：

由于 $P P^{- 1} = P γ^{0} = 1$ 而 $(γ^{0})^{2} = 1$ ，得： $P^{- 1} = γ^{0}$
因此 $P γ^{5} P^{- 1} = γ^{0} γ^{5} γ^{0} = γ^{0} (- γ^{0} γ^{5}) = - (γ^{0})^{2} γ^{5} = - γ^{5}$ （ $γ^{5}$ 在宇称变换下改变符号，它是一个伪标量）

而 $γ^{5}$ 是伪标量意味着：

手征投影算符 $P_{L}$ 和 $P_{R}$ 在宇称变换下会互换：
- $P P_{L} P^{- 1} = P \frac{1 - γ ^{5}}{2} P^{- 1} = \frac{1 - P γ ^{5} P ^{- 1}}{2} = \frac{1 - ( - γ ^{5} )}{2} = P_{R}$
- $P P_{R} P^{- 1} = P_{L}$
宇称变换会将左手旋量变为右手旋量，将右手旋量变为左手旋量：
- $P ψ_{L} P^{- 1} = P (P_{L} ψ) P^{- 1} = (P P_{L} P^{- 1}) (P ψ P^{- 1}) = P_{R} (γ^{0} ψ (t, - x)) = ψ_{R}^{'}$
- $P ψ_{R} P^{- 1} = P_{L} (γ^{0} ψ (t, x))$

在粒子物理的标准模型中，弱相互作用（例如，电子和中微子之间的相互作用）的物理过程由一个特殊的弱电流来描述。这个电流具有一个独特的结构，被称为 V-A (Vector minus Axial-vector) 形式：

J_{μ} = \overset{ˉ}{ψ} γ^{μ} (1 - γ^{5}) ψ

其中 $\overset{ˉ}{ψ} = ψ^{†} γ^{0}$ 是狄拉克伴随旋量

这个表达式中的因子 $(1 - γ^{5})$ 正好是 $2 P_{L}$ 。这意味着弱相互作用的电流可以写成：

J^{μ} = 2 \overset{ˉ}{ψ} γ^{μ} P_{L} ψ = 2 \overset{ˉ}{ψ} γ^{μ} ψ_{L}

这个形式清楚地表明，弱相互作用只与狄拉克旋量的左手分量 $ψ_{L}$ 发生作用

现在我们考察这个弱电流在宇称变换下的行为。一个理论如果遵守宇称对称性，那么它的相互作用项在宇称变换下必须保持不变（算法的表达式不变）

弱电流 $J^{μ}$ 宇称变换之前写作：

J^{μ} = \overset{ˉ}{ψ} γ^{μ} (1 - γ^{5}) ψ

在宇称变换下， $\overset{ˉ}{ψ} (t, x) P \overset{ˉ}{ψ}^{'} (t, x) = \overset{ˉ}{ψ} (t, - x) γ^{0}$

（注：在宇称变换下， $γ^{0}$ 作用在狄拉克旋量 $ψ$ 的左边；伴随旋量 $\overset{ˉ}{ψ}$ 的右边）

考虑变换（过程使用关键公式 $γ^{0} γ^{5} γ^{0} = - γ^{5}$ ）：

J^{μ} P J_{P}^{μ} = \overset{ˉ}{ψ}^{'} (t, x) γ^{μ} (1 - γ^{5}) ψ^{'} (t, x) = \overset{ˉ}{ψ} (t, - x) γ^{0} γ^{μ} (1 - γ^{5}) γ^{0} ψ (t, - x) = \overset{ˉ}{ψ} (t, - x) (γ^{0} γ^{μ} γ^{0} - γ^{0} γ^{μ} γ^{5} γ^{0}) ψ (t, - x) = \overset{ˉ}{ψ} (t, - x) (γ^{0} γ^{μ} γ^{0} + γ^{0} γ^{μ} γ^{0} γ^{5}) ψ (t, - x) = \overset{ˉ}{ψ} (t, - x) (γ^{0} γ^{μ} γ^{0}) (1 + γ^{5}) ψ (t, - x)

这个结果清晰地表明了两点：

协变性：流的四矢量分量部分 $γ^{μ}$ 变成了 $γ^{0} γ^{μ} γ^{0}$ ，这正是四矢量在宇称变换下应有的变换行为。
对称性破缺：内部的手征结构从 V-A $(1 - γ^{5})$ 变成了 V+A $(1 + γ^{5})$ ，由于变换后的物理定律（由 V+A 描述）与原始的物理定律（由 V-A 描述）具有不同的代数形式，因此我们说这个理论不具备宇称对称性，或者说，弱相互作用破坏了宇称对称性。

也就是按理来说，宇称变换前后，弱电流算符始终应该只与左手旋量作用。但是现在出现的情况是，宇称变换后，弱电流算符仍然跑去和宇称变换之前是左手旋量、现在宇称变换后已经是右手的旋量结合去了。算符本身不能因为粒子的改变（粒子从左手变成右手）而改变（算符从偏爱左手变成偏爱右手），但现在却改变了，因为定律本身变了，所以对称性被破坏了。

附标准的教科书论证方法：

弱电流 $J^{μ}$ 是一个矢量分量 $V^{μ} = \overset{ˉ}{ψ} γ^{μ} ψ$ 和一个轴矢量分量 $A^{μ} = \overset{ˉ}{ψ} γ^{μ} γ^{5} ψ$ 的差，即 $J^{μ} = V^{μ} - A^{μ}$

考虑一个典型的弱相互作用项，例如 $J^{μ} J_{μ}$ 。在宇称变换下，它的行为如下：

J^{μ} J_{μ} = (V^{μ} - A^{μ}) (V_{μ} - A_{μ}) = V^{μ} V_{μ} - V^{μ} A_{μ} - A^{μ} V_{μ} + A^{μ} A_{μ}

在宇称变换下：

$V^{μ} V_{μ}$ 是一个标量，其形式不变。
$A^{μ} A_{μ}$ 是一个标量，其形式不变。
$V^{μ} A_{μ}$ 和 $A^{μ} V_{μ}$ 是伪标量，它们在宇称变换下会改变符号。

因此，整个相互作用项 $J^{μ} J_{μ}$ 在宇称变换下变为：

(V^{μ} - A^{μ}) (V_{μ} - A_{μ}) P (V^{μ} V_{μ} + V^{μ} A_{μ} + A^{μ} V_{μ} + A^{μ} A_{μ}) = (V^{μ} V_{μ} - V^{μ} A_{μ} - A^{μ} V_{μ} + A^{μ} A_{μ}) = (V^{μ} + A^{μ}) (V_{μ} + A_{μ})

由于 $(V^{μ} - A^{μ}) (V_{μ} - A_{μ}) \neq = (V^{μ} + A^{μ}) (V_{μ} + A_{μ})$ ，这意味着弱相互作用的拉格朗日密度在宇称变换下改变了其代数形式（从 V-A 耦合变为 V+A 耦合）。这种形式的改变直接证明了弱相互作用不遵守宇称对称性。

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