边界条件

基础知识

对于一个在三维空间中的函数 $u(x,y,z)$，其在边界上的法向导数是指函数沿着边界外法线方向的变化率

如果 $\mathbf{n}$ 是边界上的单位外法向量，那么法向导数可以表示为 $\frac{\partial u}{\partial n}=\mathbf{n}\cdot \nabla u$，其中 $\nabla u$ 是函数的梯度

狄利克雷边界条件：

• Dirichlet Boundary Condition、第一类边界条件
• 指定函数在边界上的值：$u=h$

诺伊曼边界条件：

• Neumann Boundary Condition、第二类边界条件
• 指定函数在边界上的法向导数：$\frac{\partial u}{\partial n}=g$

罗宾边界条件：

• Robin/Mixed Boundary Condition、第三类边界条件
• 指定函数在边界上的值和法向导数的线性组合：$\alpha u+\beta \frac{\partial u}{\partial n}=\gamma$

COMSOL

定义

官方叫诺伊曼（Nenmann）边界条件的推广，或者可以看作广义的第三类边界条件

$$-\mathbf{n}\cdot (c\nabla u+\alpha u-\gamma )=g-qu+h^T\mu$$

上式可以写成 $-c\frac{\partial u}{\partial n}-\mathbf{n}\cdot (\alpha u)+\mathbf{n}\cdot \gamma =g-qu+h^T\mu$（有 $\frac{\partial u}{\partial n}=\mathbf{n}\cdot \nabla u$），把和 $u$ 相关的项移动左边，其他项移到右边：

$$-c\frac{\partial u}{\partial n}+(q-\alpha \cdot \mathbf{n})u=g-(\gamma \cdot \mathbf{n})+h^T\mu$$

与第三类边界条件一致

物理意义：

• $-c\frac{\partial u}{\partial n}$：扩散通量的法向分量，$-c(\mathbf{n}\cdot \nabla u)$
• $(q-\alpha \cdot \mathbf{n})u$
  • $qu$：边界上的反应或吸收项
  • $-(\alpha \cdot \mathbf{n})u$：对流通量的法向分量
• $g$：外部施加的通量
• $-(\gamma \cdot \mathbf{n})$：外部源引起的通量
• $h^T\mu$：耦合/反应项，用于强制满足 $R=0$，在COMSOL中表示为 $g_{\mathrm{reaction}}$
  • 常见定义为 $h=\frac{\partial R}{\partial u}$
  • $\mu$ 是新引入的变量，拉格朗日乘子

反应项

问题：有泛函 $J(u)$，希望 $u$ 使 $J(u)$ 最小，同时满足 $R(u)=0$ 在 $\partial {\Omega }_c$ 上

构造拉格朗日泛函

$$L(u,\mu )=J(u)+{\int }_{\partial {\Omega }_c}\mu R(u)\mathrm{d}S$$

我们要求 $L(u,\mu )$ 对于 $u$ 和 $\mu$ 的变分都为零，即 $\delta L=0$

1. 关于 $\mu$ 的变分

假设 $u$ 固定，有：

$$\frac{\partial L}{\partial \mu }={\int }_{\partial {\Omega }_c}\delta \mu R(u)\mathrm{d}S$$

为了使 $\frac{\partial L}{\partial \mu }=0$ 对于任意的 $\delta \mu$ 都成立，必须有：

$$R(u)=0,\mathrm{on}\partial {\Omega }_c$$

这正是我们希望拉格朗日乘子法强制满足的约束条件

2. 关于 $u$ 的变分

假设 $\mu$ 固定，有：

$$\delta L=\delta J(u)+{\int }_{\partial {\Omega }_c}\mu \delta (R(u))\mathrm{d}S=\delta J(u)+{\int }_{\partial {\Omega }_c}\mu \frac{\partial R}{\partial u}\delta u\mathrm{d}S$$

为了使 $\delta L=0$ 对于任意的 $\delta u$ 都成立，我们需要将 $\delta J(u)$ 也写成积分形式，通常是通过分部积分将导数项转移到变分函数 $\delta (u)$ 上。

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以拉普拉斯方程为例，有：

$$J(u)={\int }_{\Omega }\frac{1}{2}|\nabla u{|}^2\mathrm{d}V$$

其变分为：

$$\delta J(u)={\int }_{\Omega }\nabla u\cdot \nabla (\delta u)\mathrm{d}V$$

通过分部积分（散度定理）：

$${\int }_{\Omega }\nabla u\cdot \nabla (\delta u)\mathrm{d}V=-{\int }_{\Omega }(\nabla \cdot \nabla u)\delta u\mathrm{d}V+{\int }_{\partial \Omega }(\nabla u\cdot \mathbf{n})\delta u\mathrm{d}S=-{\int }_{\Omega }(\Delta u)\delta u\mathrm{d}V+{\int }_{\partial \Omega }\frac{\partial u}{\partial n}\mathrm{d}S$$

所以，$\delta J(u)$ 包含了方程本身（在 $\Omega$ 内部）和自然边界条件（在 $\partial \Omega$ 上）

将上式代入到 $\delta L$ 的表达式中：

$$\delta L=-{\int }_{\Omega }(\Delta u)\delta u\mathrm{d}V+{\int }_{\partial \Omega }\frac{\partial u}{\partial n}\mathrm{d}S+{\int }_{\partial {\Omega }_c}\mu \frac{\partial R}{\partial u}\delta u\mathrm{d}S=0$$

为了简化，我们假设我们考虑的边界条件只在 $\partial {\Omega }_c$​ 上。那么 $\partial \Omega =\partial {\Omega }_c$

$$-{\int }_{\Omega }(\Delta u)\delta u\mathrm{d}V+{\int }_{\partial \Omega }\left(\frac{\partial u}{\partial n}+\mu \frac{\partial R}{\partial u}\right)\delta u\mathrm{d}S=0$$

为了使这个等式对于任意的 $\delta u$ 都成立，我们需要：

1. 在域内：$-\Delta u=0$（即拉普拉斯方程）
2. 在边界上：$\frac{\partial u}{\partial n}+\mu \frac{\partial R}{\partial u}=0$

将这个边界条件与COMSOL中给出的广义诺伊曼边界条件进行比较，其中拉普拉斯方程的 $c=1$，$\alpha =\gamma =0$，在 $\partial {\Omega }_c$ 上 $g=q=0$：

$$-\mathbf{n}\cdot (\nabla u)=h^T\mu$$

得：

$$h^T=\frac{\partial R}{\partial u}$$

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如果不用拉普拉斯方程的特例，一般形式的推导需要用到方程的弱形式：

$$\delta L(u)={\int }_{\Omega }\mathcal{L}(u,\nabla u)\delta u\mathrm{d}V+{\int }_{\partial \Omega }\mathcal{B}(u,\nabla u,\mathbf{n})\delta u\mathrm{d}S$$

代入 $\delta L$ 的表达式，令 $\partial \Omega =\partial {\Omega }_c$：

$${\int }_{\Omega }\mathcal{L}(u,\nabla u)\delta u\mathrm{d}V+{\int }_{\partial {\Omega }_c}\left(\mathcal{B}(u,\nabla u,\mathbf{n})+\mu \frac{\partial R}{\partial u}\right)\delta u\mathrm{d}S=0$$

为了使这个等式对于任意的 $\delta u$ 都成立，我们需要：

1. 在域内：$\mathcal{L}(u,\nabla u)=0$（求解的PDE方程本身）
2. 在边界上：$\mathcal{B}(u,\nabla u,\mathbf{n})+\mu \frac{\partial R}{\partial u}=0$

将这个边界条件与COMSOL中给出的广义诺伊曼边界条件进行比较：

$$-\mathbf{n}\cdot (c\nabla u+\alpha u-\gamma )=g-qu+h^T\mu$$

有 $\mathcal{B}(u,\nabla u,\mathbf{n})=-(\mathbf{n}\cdot (c\nabla u+\alpha u-\gamma )+g-qu)$，$h^T=\frac{\partial R}{\partial u}$

狄利克雷边界条件

在狄利克雷边界条件中，$u=r$ 即 $0=u-r=R$，因此 $h^T=\frac{\partial R}{\partial u}=1$

在狄利克雷边界条件中，$u=r$ 即 $0=r-u=R$，因此 $h^T=\frac{\partial R}{\partial u}=-1$

这两种定义都是对的，关键在于保证 $R$ 在上下文中的定义是一致的（在COMSOL中很明显使用了第二种定义）